Różne sposoby dowodzenia twierdzenia Pitagorasa: przykłady, opis i recenzje
W jednym możesz być pewien w stu procentachprocent, że pytanie o to, co jest równe kwadratowi przeciwprostokątnej, każda dorosła osoba odważnie odpowie: "Suma kwadratów nóg." To twierdzenie jest mocno zakorzenione w umysłach każdej wykształconej osoby, ale wystarczy poprosić kogoś, aby to udowodnić, a wtedy mogą pojawić się trudności. Dlatego przypomnijmy sobie i rozważmy różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.
Przegląd biografii
Twierdzenie Pitagorasa jest znane prawie wszystkim, alez jakiegoś powodu biografia osoby, która ją wyprodukowała, nie jest tak popularna. Można go naprawić. Dlatego przed zapoznaniem się z różnymi metodami dowodzenia twierdzenia Pitagorasa konieczne jest krótkie zapoznanie się z jego osobowością.
Pitagoras jest filozofem, matematykiem, myślicielemStarożytna Grecja. Dziś bardzo trudno jest odróżnić jego biografię od legend, które ukształtowały się na pamiątkę tego wielkiego człowieka. Ale jak wynika z prac jego zwolenników, Pythagoras z Samos urodził się na wyspie Samos. Jego ojciec był zwykłym kamiennym kutrem, ale jego matka pochodziła ze szlachetnej rodziny.
Według legendy, narodziny Pitagorasaprzepowiedział kobietę o imieniu Pythia, w której cześć nazwał chłopca. Zgodnie z jej przewidywaniami urodzony chłopiec miał przynosić ludzkości wiele korzyści i dobra. Co właściwie zrobił.
Narodziny twierdzenia
W młodości Pythagoras przeniósł się z Samos doEgipt spotkać tam słynnych egipskich mędrców. Po spotkaniu z nimi pozwolono mu się uczyć, gdzie uczył się wszystkich wielkich osiągnięć egipskiej filozofii, matematyki i medycyny.
Prawdopodobnie w Egipcie zainspirowano Pitagorasamajestat i piękno piramid i stworzył jego wspaniałą teorię. To może wstrząsnąć czytelnikami, ale współczesni historycy uważają, że Pitagoras nie udowodnił swojej teorii. Ale przekazał swoją wiedzę tylko swoim zwolennikom, którzy później ukończyli wszystkie niezbędne matematyczne obliczenia.
W każdym razie, dzisiaj nie wiadomo.metoda dowodu tego twierdzenia, ale kilka naraz. Dziś pozostaje tylko zgadywać, jak dokładnie starożytni Grecy dokonali obliczeń, więc tutaj rozważamy różne sposoby udowodnienia twierdzenia Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa
Zanim zaczniesz jakiekolwiek obliczenia, musisz dowiedzieć się, jaką teorię udowodnić. Twierdzenie Pitagorasa brzmi tak: "W trójkącie, w którym jeden z kątów wynosi 90o, suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. "
Istnieje 15 różnych sposobów udowodnienia twierdzenia Pitagorasa. Jest to dość duża liczba, więc zwrócilibyśmy uwagę na te najbardziej popularne.
Metoda pierwsza
Po pierwsze, oznaczamy to, co jest nam dane. Dane te zostaną rozszerzone na inne metody dowodzenia twierdzenia Pitagorasa, więc należy natychmiast zapamiętać wszystkie istniejące oznaczenia.
Załóżmy, że podany jest trójkąt prostokątny, z a cat catami równymi c. Pierwsza metoda dowodzenia opiera się na fakcie, że kwadrat powinien być narysowany z trójkąta prostokątnego.
Aby to zrobić, musisz mieć długość nogi anarysować segment równy nodze i na odwrót. Powinno więc być dwóch równych boków kwadratu. Pozostaje tylko narysować dwie równoległe linie, a kwadrat jest gotowy.
Wewnątrz wynikowej figury musisz narysować więcejjeden kwadrat o boku równym przeciwprostokątnej oryginalnego trójkąta. Aby to zrobić, z wierzchołków ac i sv musisz narysować dwa równoległe segmenty równe c. Tak więc istnieją trzy boki kwadratu, z których jeden jest przeciwprostokątną z oryginalnych trójkątów. Pozostaje tylko narysować czwarty segment.
Na podstawie uzyskanego wzoru możemy wywnioskować, że obszar zewnętrznego kwadratu to (a + b)2. Jeśli zajrzysz do wnętrza kształtu, zobaczysz, że oprócz kwadratu wewnętrznego znajdują się cztery trójkąty prostokątne. Powierzchnia każdego z nich to 0,5.
Dlatego obszar to: 4 * 0.5av + s2= 2av + s2
Stąd (a + c)2= 2av + s2
I dlatego z2= a2+ w2
Twierdzenie jest udowodnione.
Metoda druga: podobne trójkąty
Ta formuła jest dowodem twierdzenia Pitagorasazostała wyprowadzona na podstawie stwierdzenia z sekcji geometrii o podobnych trójkątach. Mówi się, że noga trójkąta prostokątnego jest proporcjonalna do przeciwprostokątnej i odcinka przeciwprostokątnej, która pochodzi z góry 90o.
Oryginalne dane pozostają takie same, więc zaczynamy natychmiast od dowodu. Wykonać prostopadle do boku odcinka AB z segmentu AB. W oparciu o powyższe stwierdzenie, nogi trójkątów są równe:
AC = √AB * AD, CB = √ AB * DV.
Aby odpowiedzieć na pytanie, w jaki sposób udowodnić twierdzenie Pitagorasa, dowód należy przedstawić, wyrównując nierówności.
AC2= AB * AD i SV2= AB * DV
Teraz musimy dodać wynikową nierówność.
AC2+ SV2= AB * (HELL * LW), gdzie HELL + LW = AV
Okazuje się, że:
AC2+ SV2= AB * AB
I dlatego:
AC2+ SV2= AB2
Dowód twierdzenia Pitagorasa i różne sposoby jego rozwiązania wymagają wieloaspektowego podejścia do tego problemu. Jednak ta opcja jest jedną z najprostszych.
Kolejna metoda obliczeń
Opis różnych sposobów udowodnienia twierdzeniaPitagoras nic nie może powiedzieć, dopóki nie zaczniesz ćwiczyć. Wiele metodologii obejmuje nie tylko obliczenia matematyczne, ale także budowę nowych figur z oryginalnego trójkąta.
W takim przypadku konieczne jest wypełnienie jeszcze jednego trójkąta prostokątnego AF. Tak więc teraz istnieją dwa trójkąty ze wspólnym BC.
Wiedząc, że obszary takich figurek mają stosunek jako kwadraty ich podobnych wymiarów liniowych, to:
Savs * z2- Savd* w2 = Savd* a2- Swszędzie* a2
Savs* (z2-in2) = a2* (Savd-Swszędzie)
z2-in2= a2
z2= a2+ w2
Ponieważ z różnych metod udowodnienia twierdzenia Pitagorasa dla 8 klasy ta opcja jest mało odpowiednia, możemy zastosować następującą metodę.
Najprostszy sposób na udowodnienie twierdzenia Pitagorasa. Recenzje
Historycy uważają, że to był pierwszy razużywany do udowodnienia twierdzenia w starożytnej Grecji. Jest najprostszy, ponieważ nie wymaga absolutnie żadnych obliczeń. Jeśli narysujesz obrazek poprawnie, to dowód oświadczenia, że2+ w2= z2 będą wyraźnie widoczne.
Warunki tej metody będą się nieco różnić od poprzedniej. Aby udowodnić twierdzenie, przypuśćmy, że prawy trójkąt ABC jest równoramienny.
Przeciwprostokątna AU jest przyjmowana jako bok kwadratu iJesteśmy trzema jego stronami. Ponadto konieczne jest narysowanie dwóch ukośnych linii w wynikowym kwadracie. Tak więc w środku znajdują się cztery trójkąty równoramienne.
Konieczne jest również narysowanie na kwadratach AB i CB wzdłuż kwadratów i przytrzymanie jednej linii po przekątnej w każdym z nich. Pierwsza prosta, którą rysujemy od góry A, druga - od północy.
Teraz musisz uważnie przyjrzeć się wynikowemu obrazowi. Ponieważ istnieją cztery trójkąty na przeciwprostokątnej AC, równe oryginałowi, a dwa na nogach, oznacza to prawdziwość tego twierdzenia.
Przy okazji, dzięki tej metodzie udowodnienia twierdzenia Pitagorasa, narodziła się słynna fraza: "Spodnie pitagorejskie są równe we wszystkich kierunkach".
Dowód J. Garfielda
James Garfield jest dwudziestym prezydentem Stanów Zjednoczonych Ameryki. Poza tym, że pozostawił swój ślad w historii jako władca Stanów Zjednoczonych, był również obdarzony samoukami.
Na początku swojej kariery był zwyczajnynauczyciel w szkole ludowej, ale wkrótce został dyrektorem jednej z wyższych uczelni. Pragnienie samorozwoju i pozwoliło mu zaproponować nową teorię dowodu twierdzenia Pitagorasa. Twierdzenie i przykład jego rozwiązania jest następujący.
Najpierw musisz narysować na kartce dwaprawe trójkąty, tak że noga jednego z nich jest kontynuacją drugiego. Wierzchołki tych trójkątów muszą być połączone, aby skończyć z trapezem.
Jak wiadomo, powierzchnia trapezu jest równa iloczynowi połowy sum podstawy i jej wysokości.
S = a + b / 2 * (a + b)
Jeśli rozpatrzymy wynikowy trapez jako obraz składający się z trzech trójkątów, to jego obszar można znaleźć w następujący sposób:
S = AV / 2 * 2 + s2/ 2
Teraz musisz zrównoważyć dwa wyrażenia źródłowe
2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2
z2= a2+ w2
O twierdzeniu Pitagorasa i jak to udowodnić, można napisać więcej niż jeden tom podręcznika. Ale czy ma to sens, gdy tej wiedzy nie można wykorzystać w praktyce?
Praktyczne zastosowanie twierdzenia Pitagorasa
Niestety w nowoczesnych programach szkolnychTwierdzenie to można stosować tylko w problemach geometrycznych. Absolwenci wkrótce opuszczą mury szkolne, nie wiedząc, i jak mogą wykorzystać swoją wiedzę i umiejętności w praktyce.
W rzeczywistości użyj twierdzenia Pitagorasa wkażdy może zadbać o swoje codzienne życie. I nie tylko w działalności zawodowej, ale także w zwykłych pracach domowych. Rozważmy kilka przypadków, w których twierdzenie Pitagorasa i metody jego dowodzenia mogą być niezwykle potrzebne.
Związek twierdzenia z astronomią
Wydawałoby się, że gwiazdy i trójkąty można łączyć na papierze. W rzeczywistości astronomia to dziedzina naukowa, w której szeroko stosowane jest twierdzenie Pitagorasa.
Weźmy na przykład ruch wiązki światła w przestrzeni. Wiadomo, że światło porusza się w obu kierunkach z tą samą prędkością. Kieruje się trajektorię AB, która porusza wiązkę światła l. A w połowie czasu, w którym światło musi dostać się z punktu A do punktu B, dzwonimy t. I prędkość wiązki - c. Okazuje się, że: c * t = l
Jeśli spojrzysz na ten promień innegona przykład samolot z liniowej przestrzeni, która porusza się z prędkością v, a następnie z taką obserwacją ciał ich prędkość się zmieni. W takim przypadku nawet elementy stacjonarne będą poruszać się z prędkością v w przeciwnym kierunku.
Przypuśćmy, że komiksowy statek płynie po prawej stronie. Następnie punkty A i B, pomiędzy którymi rzucany jest promień, przesuwają się w lewo. Co więcej, kiedy promień przesuwa się z punktu A do punktu B, punkt A ma czas na poruszanie się i odpowiednio światło dociera do nowego punktu C. Aby znaleźć połowę odległości, którą przesunął punkt A, należy pomnożyć prędkość liniowca przez połowę czasu, w którym przemieszcza się wiązka (t ").
d = t "* v
Aby znaleźć odległość, przez którą promień światła mógłby przejść w tym czasie, musisz wyznaczyć połowę ścieżki nowego buku i uzyskać następujące wyrażenie:
s = c * t "
Jeśli wyobrażasz sobie, że punkty światła to C i B, iPonieważ liniowa jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego, segment od punktu A do liniowca podzieli go na dwa prawe trójkąty. Dlatego dzięki twierdzeniu Pitagorasa można określić odległość, jaką może pokonać promień światła.
s2 = l2 + d2
Ten przykład nie jest oczywiście najbardziej udany, ponieważ tylko nieliczni mogą mieć szczęście, aby wypróbować go w praktyce. Dlatego rozważamy bardziej przyziemne warianty zastosowania tego twierdzenia.
Mobilny promień sygnału
Współczesnego życia nie można już sobie wyobrazić bez istnienia smartfonów. Ale ile będzie z nich proc, jeśli nie będą mogli połączyć abonentów za pomocą komunikacji mobilnej?
Jakość komunikacji mobilnej zależy bezpośrednio odwysokość anteny operatora komórkowego. Aby obliczyć, jak daleko telefon może odbierać sygnał z wieży mobilnej, można zastosować twierdzenie Pitagorasa.
Załóżmy, że musisz znaleźć przybliżoną wysokość nieruchomej wieży, aby mogła propagować sygnał w promieniu 200 kilometrów.
AB (wysokość wieży) = x;
SU (promień transmisji sygnału) = 200 km;
OS (promień globu) = 6380 km;
Stąd
OB = OA + ABOV = r + x
Stosując twierdzenie Pitagorasa, dowiadujemy się, że minimalna wysokość wieży powinna wynosić 2,3 kilometra.
Twierdzenie Pitagorasa w codziennym życiu
Co dziwne, twierdzenie Pitagorasa może okazać sięprzydatne nawet w sprawach wewnętrznych, takich jak na przykład określanie wysokości szafy. Na pierwszy rzut oka nie ma potrzeby korzystania z tak skomplikowanych obliczeń, ponieważ można po prostu dokonywać pomiarów za pomocą ruletki. Ale wielu zastanawia się, dlaczego są pewne problemy w procesie montażu, jeśli wszystkie pomiary zostały wykonane więcej niż dokładnie.
Faktem jest, że szafa idziew poziomie i tylko wtedy podnosi się i instaluje pod ścianą. Dlatego w procesie podnoszenia konstrukcji ścianka boczna szafki powinna swobodnie przepływać zarówno wzdłuż wysokości, jak i po przekątnej pomieszczenia.
Załóżmy, że jest szafa o głębokości 800 mm. Odległość od podłogi do sufitu wynosi 2600 mm. Doświadczony producent mebli powie, że wysokość szafki powinna być o 126 mm mniejsza niż wysokość pomieszczenia. Ale dlaczego dokładnie 126 mm? Rozważ przykład.
Przy idealnych wymiarach szafki sprawdź efekt twierdzenia Pitagorasa:
AC = √AB2+ √ВС2
AC = √24742+8002= 2600 mm - wszystko pasuje.
Załóżmy, że wysokość szafki nie jest równa 2474 mm, ale 2505 mm. Następnie:
AC = √ 25052+ √8002= 2629 mm.
W związku z tym ta szafa nie nadaje się do instalacji w tym pomieszczeniu. Od kiedy podniesiesz go w pozycji pionowej, możesz uszkodzić jego ciało.
Być może, rozważając różne sposoby dowodzeniaTwierdzenia Pitagorasa przez różnych naukowców, możemy stwierdzić, że jest więcej niż prawdziwe. Teraz możesz wykorzystać informacje uzyskane w codziennym życiu i być całkowicie pewnym, że wszystkie obliczenia będą nie tylko użyteczne, ale także prawdziwe.
