Całka nieoznaczona. Obliczanie całek nieoznaczonych
Jedna z podstawowych sekcji matematycznychAnaliza jest rachunkiem integralnym. Obejmuje najszersze pole przedmiotów, gdzie pierwsza jest całką nieoznaczoną. Warto pozycjonować go jako klucz, który nawet w szkole średniej ujawnia coraz więcej perspektyw i możliwości, które opisuje wyższa matematyka.
Wygląd
Na pierwszy rzut oka całka wydaje się być całkowicienowoczesny, istotny, ale w praktyce okazuje się, że pojawił się w 1800 r. pne. Ojczyzna oficjalnie uważana jest za Egipt, ponieważ wcześniejsze dowody jej istnienia nie dotarły do nas. To, ze względu na brak informacji, cały ten czas został umieszczony po prostu jako zjawisko. Po raz kolejny potwierdził poziom rozwoju nauki wśród narodów tamtych czasów. Wreszcie znaleziono dzieła starożytnych greckich matematyków, pochodzące z IV wieku przed naszą erą. Opisali metodę, w której użyto całki nieoznaczonej, której istotą było znalezienie objętości lub powierzchni krzywoliniowej postaci (odpowiednio płaszczyzny trójwymiarowe i dwuwymiarowe). Zasada obliczeń opierała się na podziale pierwotnej liczby na nieskończenie małe elementy, pod warunkiem, że ich objętość (powierzchnia) jest już znana. Z biegiem czasu metoda się rozwinęła, Archimedes użył jej do wyszukania obszaru paraboli. Podobne obliczenia w tym samym czasie zostały przeprowadzone przez naukowców w starożytnych Chinach i były całkowicie niezależne od greckich kolegów naukowców.
Rozwój
Następny przełom w XI wieku był już AD.praca arabskiego uniwersalnego naukowca Abu Alego al-Basri, który przeforsował granice tego, co już było znane, wyprowadzając wzory oparte na całce do obliczania sum serii i sumy stopni od pierwszego do czwartego, wykorzystując znaną nam metodę indukcji matematycznej.
Umysły współczesności podziwiają starożytnychEgipcjanie stworzyli niesamowite zabytki architektury, nie mając żadnych specjalnych adaptacji, z wyjątkiem być może rąk, ale czyż nie jest to siła umysłu naukowców z tamtych czasów, a nie mniejszy cud? W porównaniu z teraźniejszością ich życie wydaje się niemal prymitywne, ale rozwiązanie całek nieoznaczonych powstało wszędzie i zostało użyte w praktyce do dalszego rozwoju.
Kolejny krok miał miejsce w XVI wieku, kiedywłoski matematyk Cavalieri uzyskał niepodzielną metodę, którą złapał Pierre Fermat. To właśnie te dwie osoby stworzyły podstawę współczesnego rachunku całkowego, który jest obecnie znany. Połączyły koncepcje różnicowania i integracji, które wcześniej były postrzegane jako autonomiczne jednostki. W zasadzie matematyka tamtych czasów była rozdrobniona, cząstki wniosków istniały same z siebie, miały ograniczony zakres. Ścieżka łączenia i szukania punktów kontaktowych była w tamtym czasie jedyną właściwą, dzięki niemu nowoczesna analiza matematyczna mogła się rozwijać i rozwijać.
Z biegiem czasu wszystko się zmieniło i oznaczenieCałka w tym. Ogólnie rzecz biorąc, zostało to określone przez naukowców, którzy byli w tym dużo, na przykład Newton użył kwadratowej ikony, w której umieścił funkcję całkowitą lub po prostu ją złączył.
Formalna definicja
Całka nieoznaczona bezpośrednio zależy od definicji prymitywu, więc najpierw ją rozważymy.
Funkcja pierwotna jest funkcją odwrotną.pochodna, w praktyce nazywana jest również prymitywna. W przeciwnym razie prymityw funkcji d jest taką funkcją D, której pochodna jest równa v <=> V "= v. Poszukiwanie prymitywu jest obliczeniem całki nieoznaczonej, a sam ten proces nazywa się integracją.
Przykład:
Funkcja s (y) = y3i jego pierwotna S (y) = (y4/ 4).
Zbiór wszystkich pierwotnych funkcji danej funkcji jest całką nieoznaczoną, oznaczoną w następujący sposób: ∫v (x) dx.
Z racji tego, że V (x) to tylko niektóreprymitywu oryginalnej funkcji, następujące wyrażenie zawiera: ∫v (x) dx = V (x) + C, gdzie C jest stałą. Przez dowolną stałą rozumiemy dowolną stałą, ponieważ jej pochodna wynosi zero.
Właściwości
Własności posiadane przez całkę nieoznaczoną opierają się na podstawowej definicji i właściwościach pochodnych.
Rozważ najważniejsze punkty:
- całka pochodnej prymitywu jest sama prymitywem plus dowolna stała C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
- pochodną całki funkcji jest pierwotna funkcja <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
- stała jest pobierana spod znaku całki <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, gdzie k jest dowolne;
- całka pobrana z sumy jest identyczna jak suma całek <=> (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.
Z ostatnich dwóch właściwości możemy wywnioskować, że całka nieoznaczona jest liniowa. Z tego powodu mamy: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.
Aby skonsolidować, rozważ przykłady rozwiązywania całek nieoznaczonych.
Konieczne jest znalezienie całki (3sinx + 4cosx) dx:
- ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + 4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.
Z przykładu możemy wywnioskować: nie wiesz, jak rozwiązać nieoznaczone całki? Po prostu znajdź wszystkie prymitywy! Ale spójrz na zasady wyszukiwania poniżej.
Metody i przykłady
Aby rozwiązać problem, możesz skorzystać z następujących metod:
- użyj gotowego stołu;
- integrować w częściach;
- integruj, zastępując zmienną;
- podsumowanie znaku różniczkowego.
Tabele
Najprostszy i najprzyjemniejszy sposób. W chwili obecnej analiza matematyczna może pochwalić się dość obszernymi tabelami, które zawierają podstawowe formuły całek nieoznaczonych. Innymi słowy, istnieją szablony, które zostały wyprowadzone dla ciebie i dla ciebie, pozostaje tylko ich użyć. Oto lista głównych pozycji tabel, na których można wyświetlić prawie każdy przykład, który ma rozwiązanie:
- ∫0dy = C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy = y + C, gdzie C jest stałą;
- ∫yndy = (yn + 1) / (n + 1) + C, gdzie C jest stałą, a n jest liczbą inną niż jeden;
- ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, gdzie C jest stałą;
- ∫eydy = ey + C, gdzie C jest stałą;
- ∫kydy = (ky/ ln k) + C, gdzie C jest stałą;
- ∫cosydy = siny + C, gdzie C jest stałą;
- Inysinydy = -cosy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy / cos2y = tgy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy / sin2y = -ctgy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫dy / (1 + y2) = arctgy + C, gdzie C jest stałą;
- ∫chydy = nieśmiały + C, gdzie C jest stałą;
- ∫shydy = chy + C, gdzie C jest stałą.
W razie potrzeby wykonaj kilka kroków, przenieś widok do widoku stołu i ciesz się zwycięstwem. Przykład: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.
Decyzją jest oczywiste, że na przykład w tabeli integrand nie ma współczynnika 5. Dodajemy go równolegle z tym pomnożeniem przez 1/5, aby ogólne wyrażenie się nie zmieniło.
Integracja w częściach
Rozważ dwie funkcje - z (y) i x (y). Muszą być ciągle różniczkowalne w całej domenie. Jedną z właściwości różnicowania są: d (xz) = xdz + zdx. Integrując obie strony równości, uzyskujemy: ∫d (xz) = (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.
Przez przepisanie uzyskanej równości otrzymujemy formułę opisującą metodę całkowania w częściach: ∫zdx = zx - ∫xdz.
Dlaczego jest potrzebny? Faktem jest, że niektóre przykłady można w uproszczeniu uprościć, redukując свzdx do ∫xdz, jeśli ten ostatni jest bliski formie tabelarycznej. Również tę formułę można zastosować więcej niż jeden raz, uzyskując optymalne wyniki.
Jak rozwiązać nieskończone całki w ten sposób:
- trzeba obliczyć ∫ (s + 1) e2sds
∫ (x + 1) e2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e2s, dy = e2xds} = ((s + 1) e2s) / 2-1 / 2∫e2sdx = ((s + 1) e2s) / 2-e2s/ 4 + C;
- trzeba obliczyć ∫lnsds
∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - хs x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.
Zmienna wymiana
Ta zasada rozwiązywania całek nieoznaczonych nie jestmniej popytu niż poprzednie dwa, chociaż trudniejsze. Metoda jest następująca: niech V (x) będzie całką jakiejś funkcji v (x). W przypadku, gdy sama całka w przykładzie znajdzie się w składzie, prawdopodobnie się pomyli i podejmie złą ścieżkę decyzyjną. Aby tego uniknąć, praktykowane jest przejście od zmiennej x do z, w której ogólne wyrażenie jest wizualnie uproszczone przy zachowaniu zależności z na x.
W znaczeniu matematycznym, to jest, co następuje: ∫v (x) dx = ∫v (r (Z)) y „(z) dz = V (z) = v (r-1(x)), gdzie x = y (z) jest permutacją. I, oczywiście, funkcja odwrotna z = y-1(x) w pełni opisuje zależność iwzajemne powiązanie zmiennych. Ważną informacją jest to, że różnicowa dx jest koniecznie zastępowana nową różnicą dz, ponieważ zastąpienie zmiennej w nieskończonej całce implikuje zastąpienie jej zmienną wszędzie, a nie tylko w integrandzie.
Przykład:
- trzeba znaleźć ∫ (s + 1) / (s2 + 2s - 5) ds
Zastosuj podstawienie z = (s + 1) / (s2+ 2s-5). Wtedy dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. W rezultacie otrzymujemy następujące wyrażenie, które jest bardzo łatwe do obliczenia:
∫ (s + 1) / (s2+ 2s-5) ds = (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s2+ 2s-5 | + C;
- konieczne jest znalezienie całki 2sesdx
Aby rozwiązać, przepisuj wyrażenie w następującej formie:
∫2sesds = ∫ (2e)sds.
Oznaczmy przez a = 2e (ten krok nie jest substytutem argumentu, nadal jest s), wprowadzamy naszą pozornie złożoną całkę do elementarnej formy tabeli:
∫ (2e)sds = ∫asds = as / lna + C = (2e)s / ln (2e) + C = 2ses / ln (2 + lne) + C = 2ses / (ln2 + 1) + C.
Znak różnicy
Ogólnie rzecz biorąc, ta metoda całek nieoznaczonych jest bliźniaczym bratem zasady zastępczego zamieniania, jednak istnieją różnice w procesie projektowania. Rozważmy bardziej szczegółowo.
Jeśli ∫v (x) dx = V (x) + C i y = z (x), to ∫v (y) dy = V (y) + C.
Ponadto nie można zapomnieć o drobnych transformacjach integralnych, wśród których są:
- dx = d (x + a), gdzie a jest dowolną stałą;
- dx = (1 / a) d (ax + b), gdzie a jest znowu stałą, ale niezerową;
- xdx = 1 / 2d (x2 + b);
- sinxdx = -d (cosx);
- cosxdx = d (sinx).
Jeśli weźmiemy pod uwagę ogólny przypadek, kiedy obliczymy całkę nieoznaczoną, przykłady można zsumować pod ogólnym wzorem w "(x) dx = dw (x).
Przykłady:
- musisz znaleźć ∫ (2s + 3)2ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)
∫ (2s + 3)2ds = 1 / 2∫ (2s + 3)2d (2 s + 3) = (1/2) x ((2 s + 3)2) / 3 + C = (1/6) x (2 s + 3)2 + C;
∫tgsds = ∫sins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C.
Pomoc online
W niektórych przypadkach może to być winalub lenistwo, lub pilnie potrzebujesz, możesz skorzystać z porad online lub raczej użyć kalkulatora całek nieoznaczonych. Pomimo pozornej złożoności i kontrowersji całek, ich rozwiązanie podlega pewnemu algorytmowi, który opiera się na zasadzie "jeśli nie ... to ..."
Oczywiście, szczególnie zawiłe przykłady takichKalkulator nie zostanie opanowany, ponieważ istnieją przypadki, w których rozwiązanie musi zostać znalezione sztucznie, "siłą", poprzez wprowadzenie pewnych elementów w procesie, ponieważ wyników nie można osiągnąć w oczywisty sposób. Mimo kontrowersyjnego charakteru tego stwierdzenia jest prawdą, ponieważ matematyka jest z zasady nauką abstrakcyjną i uważa, że jej głównym zadaniem jest poszerzenie granic możliwości. Rzeczywiście, zgodnie z płynnymi teoriami, niezwykle trudno jest poruszać się i rozwijać, więc nie należy zakładać, że przykłady rozwiązywania nieskończonych całek, które daliśmy, są szczytem możliwości. Ale z powrotem do strony technicznej. Przynajmniej w celu sprawdzenia obliczeń, możesz skorzystać z usług, w których wszystko zostało napisane przed nami. Jeśli istnieje potrzeba automatycznego obliczania złożonego wyrażenia, to nie zrobi, będziesz musiał uciekać się do poważniejszego oprogramowania. Warto zwrócić uwagę przede wszystkim na środowisko MatLab.
Aplikacja
Najpierw rozwiązywanie całek nieoznaczonychWygląd wydaje się być całkowicie oderwany od rzeczywistości, ponieważ trudno jest dostrzec oczywistą płaszczyznę zastosowania. W rzeczywistości nie można ich używać bezpośrednio, ale są one uważane za niezbędny element pośredni w procesie wyprowadzania rozwiązań stosowanych w praktyce. W ten sposób integracja powraca do zróżnicowania, dzięki czemu aktywnie uczestniczy w procesie rozwiązywania równań.
Z kolei te równania mająbezpośredni wpływ na rozwiązanie problemów mechanicznych, obliczanie trajektorii i przewodnictwa cieplnego - krótko mówiąc, wszystko, co tworzy teraźniejszość i tworzy przyszłość. Całka nieoznaczona, której przykłady rozważaliśmy powyżej, jest banalna tylko na pierwszy rzut oka, ponieważ jest podstawą do dokonywania nowych i nowych odkryć.
